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Backgroud（背景信息）

BN3DTrainingUpdate 用于 3D BatchNorm 训练流程的"更新"环节：算子接收前驱 BN3DTrainingReduce 产出的逐通道统计量（sum、square_sum），结合 scale、offset 对输入 x 做批归一化得到输出 y；同时计算当前 batch 的 save 统计量（batch_mean、batch_variance）供反向传播复用，并以 factor（等价于 PyTorch 的 momentum）为 EMA 权重更新 running mean 与 running variance（mean_out、variance_out，inplace 写回输入 mean、variance）。

当前 ops-nn 的 norm 目录下已有 BNTrainingUpdate 系列（1D/2D 归一化训练更新链路），缺少 3D BatchNorm 对应的 update 算子，导致 3D 归一化训练链路不完整，需新增本算子补齐。

Origin（信息来源）

cann/ops-nn 仓库 norm 目录下新增算子需求

Benefit / Necessity （价值/作用）

补齐 3D BatchNorm 训练更新链路，与前驱 BN3DTrainingReduce 构成完整的 3D 归一化训练算子对，支撑 3D 卷积等网络训练场景；对齐现有 2D BatchNorm 训练 update 的语义与用法，降低上层框架接入成本。

Design（设计方案）

计算公式：记通道数 C = sum.shape[0]，reduce 域元素个数 num = x.size / C，逐通道有：

• μ = sum / num
• σ²_biased = square_sum / num − μ²
• y = (x − μ) / √(σ²_biased + ε) · scale + offset
• batch_mean = μ、batch_variance = σ²_biased（有偏，供反向复用）
• mean_out = factor · μ + (1 − factor) · mean
• variance_out = factor · σ²_unbiased + (1 − factor) · variance（σ²_unbiased = num/(num−1) · σ²_biased，Bessel 修正）

1. 由逐通道统计量预算归一化系数：multiplier = scale · rsqrt(σ²_biased + ε)，addend = offset − multiplier · μ；
2. 逐元素归一化以 FMA 形式 y = x · multiplier + addend 完成，中间精度 fp32，y 回 cast 到 x 的 dtype；
3. EMA 更新：mean_out = mean·(1−factor) + batch_mean·factor，variance_out = variance·(1−factor) + σ²_unbiased·factor，inplace 写回输入 mean/variance；
4. 边界：num == 1 时 Bessel 修正分母为 0，显式置无偏 batch variance 为 0，此时 running variance 不更新（保留旧值），batch_variance（有偏）正常输出。

注：x 支持 fp16/fp32/bf16，统计量恒 fp32；输入格式支持 NCHW/NCDHW/NHWC/NDHWC。